Kegelschnitte im Zusammenhang mit Dreiecken
Steinerellipsen
Ein Kegelschnitt (sprich: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel)
läßt sich immer eindeutig aus fünf verschiedenen Punkten konstruieren.
Mit bestimmten, besonderen Punkten im Dreieck können so Kegelschnitte erstellt werden,
wobei manchmal weitere besondere Punkte auf dem Kegelschnitt liegen.
Ein besonderes Beispiel hierfür sind die Inellipse und die Umellipse,
die auch als Steinerellipsen bezeichnet werden.
Tendenzellipse
Eine weitere, ähnliche Ellipse
hat ihren Mittelpunkt auf der Nagelgeraden.
Zwei Punkte im Dreieck
Besonders auffällig ist, dass sich mit zwei beliebigen Punkten in einem Dreieck,
immer ein Kegelschnitt bilden läßt,
wenn die beiden Punkte nicht mit den Eckpunkten auf einer Geraden liegen.
Wenn von allen drei Eckpunkten jeweils ein Strahl über die beiden Punkte im Dreieck
gelegt wird, dann schneiden diese Strahlen die jeweils den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten.
Es entstehen so sechs Schnittpunkte auf den Dreiecksseiten, die alle auf einem Kegelschnitt liegen.
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Geogebradatei "ellipse-mit-2-punkten-im-dreieck.ggb"
Punktspiegelung eines Dreiecks
Durch die Punktspiegelung eines Dreiecks entsteht ein weiteres Dreieck.
Es gibt somit 6 Punkte die zu zwei Dreiecken gehören.
Diese Punkte liegen alle auf einem Kegelschnitt.
Der Mittelpunkt des Kegelschnitt fällt auf den Spiegelpunkt.
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Geogebradatei "spiegeldreieckkegelschnitt.ggb"
Wenn Dreieck und gespiegeltes Dreieck einander vollständig überlagern,
dann liegen die sechs Schnittpunkte der Dreiecksseiten ebenfalls auf einem Kegelschnitt.
Bei diesem Kegelschnitt handelt es sich dann um eine Ellipse die ihren Mittelpunkt
ebenfalls im Spiegelpunkt hat.
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Die Punkte von Dreieck und Punktspiegelbild können als äußere Punkte eines
Parallelepipeds angesehen werden.
Der Spiegelpunkt ist danm der Mittelpunkt des Körpers.
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Spiegelung an einer Geraden
Durch die Spiegelung eines Dreiecks an einer Geraden entsteht ebenfalls ein Spiegeldreieck.
Die sechs Eckpunkte dieser Dreiecke liegen wiederum auf einem Kegelschnitt.
Die Spiegelgerade fällt mit einer Achse des Kegelschnitts zusammen.
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Die vollständige Überlagerung von Dreieck und Spiegeldreieck stört die Konstruktion
des Kegelschnittes nicht.
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Dreiecke mit gleichem Inkreis
Die Eckpunkte von zwei Dreiecken mit gleichem Inkreis liegen immer auf einem Kegelschnitt.
Punkt A ist der Mittelpunkt des Inkreises der Dreiecke E,F,G und K,L,M
Der Abstand von Punkt A und B enspricht dem Inkreisradius.
Die Punkte A, B, C, D, H, I, J können bewegt werden.
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Karl Hovekamp
12. Februar 2012
Update: 13. März 2012
Update: 9. September 2013